Schemat 17A: Optymalizacja ekonomiczna

Najważniejsza zasada: Wszystkie zadania optymalizacyjne na maturze podstawowej sprowadzają się do znalezienia wierzchołka paraboli skierowanej ramionami w dół. Największy zysk lub przychód znajduje się zawsze na samym jej szczycie.

Dwa sposoby na szybkie rozwiązanie:

• 🎯 Sposób 1: Ze wzoru na wierzchołek. Gdy masz (lub po wymnożeniu nawiasów otrzymasz) funkcję w postaci ogólnej $f(x) = ax^2 + bx + c$. Szukany argument $x$, dla którego wartość jest największa, to współrzędna $p$:

  $$p = \frac{-b}{2a}$$

• 💡 Sposób 2: Ze środka miejsc zerowych. Gdy funkcja jest już podana w postaci dwóch nawiasów (np. $P(x) = (60-x)(20+x)$), nie musisz tego mnożyć! Wystarczy przyrównać zawartość nawiasów do zera, by znaleźć miejsca zerowe ($x_1 = 60$, $x_2 = -20$). Wierzchołek paraboli leży zawsze idealnie pośrodku nich:

  $$p = \frac{x_1 + x_2}{2}$$

Maturalne wskazówki:

• ⚠️ Przychód a Zysk: Jeśli w zadaniu podano osobno funkcję przychodu i funkcję kosztów, pamiętaj, że Zysk = Przychód - Koszty. Odejmując koszty, zawsze bierz całe ich wyrażenie w nawias, aby prawidłowo zmienić wszystkie znaki!
• 🔢 Uważnie czytaj polecenie: Jeśli pytają, dla jakiego $x$ (np. jakiej ceny/obniżki) zysk jest największy – wystarczy policzyć $p$. Jeśli pytają, ile wynosi ten największy zysk – musisz wstawić wyliczone $p$ z powrotem do głównego wzoru funkcji.
• ⚠️ Uwaga! Największa bądź najmniejsza wartość może być przyjmowana też na końcu przedziału domkniętego. Zawsze sprawdź, czy obliczona współrzędna $p$ wierzchołka należy do dziedziny.