Kalkulator Punktów
Matura z Matematyki 2026

$\displaystyle \sqrt{\frac{25}{8}} \cdot \sqrt{2} + 2^{-1} =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{25}{8} \cdot 2} + \frac{1}{2} =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{25}{4}} + \frac{1}{2} =$ $\displaystyle \frac{5}{2} + \frac{1}{2} =$ $\displaystyle \frac{6}{2} =$ $\displaystyle 3$

Odpowiedź: C. $3$

$\displaystyle K_0 = 10\ 000$

$\displaystyle p = 6\%$

$\displaystyle n = 2$

Wzór na procent składany:

$\displaystyle K_2 =$ $\displaystyle 10\ 000 \cdot \left(1 + \frac{6}{100}\right)^2 =$ $\displaystyle 10\ 000 \cdot (1{,}06)^2 =$ $\displaystyle 10\ 000 \cdot 1{,}1236 =$ $\displaystyle 11\ 236$

Odsetki:

$\displaystyle 11\ 236 - 10\ 000 =$ $\displaystyle 1\ 236$

Odpowiedź: B. $1236$ zł

$\displaystyle \sqrt{5\sqrt{5}} =$ $\displaystyle \sqrt{5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}}} =$ $\displaystyle \sqrt{5^{\frac{3}{2}}} =$ $\displaystyle \left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} =$ $\displaystyle 5^{\frac{3}{4}}$

Odpowiedź: C

$\displaystyle \log_8 4 - \log_8 32 =$ $\displaystyle \log_8 \left(\frac{4}{32}\right) =$ $\displaystyle \log_8 \left(\frac{1}{8}\right) =$ $\displaystyle \log_8 8^{-1} =$ $\displaystyle -1$

Odpowiedź: B. $(-1)$

$\displaystyle 4^{12} \cdot 5^{24} =$ $\displaystyle 4 \cdot 4^{11} \cdot 5 \cdot 5^{23} =$ $\displaystyle 20 \cdot 4^{11} \cdot 5^{23} \implies$ dzieli się przez $20$ (P).

$\displaystyle 4^{12} \cdot 5^{24} = (2^2)^{12} \cdot 5^{24} = 2^{24} \cdot 5^{24} = (2 \cdot 5)^{24} = 10^{24}$

Liczba $10^{24}$ składa się z cyfry $1$ oraz $24$ zer, co łącznie daje $25$ cyfr (P).

Odpowiedź: P, P

Wzór skróconego mnożenia:

$\displaystyle x^2 + 10x + 25 =$ $\displaystyle (x + 5)^2$

Podstawiamy $x$:

$\displaystyle (\sqrt{2} - 5 + 5)^2 =$ $\displaystyle (\sqrt{2})^2 =$ $\displaystyle 2$

Odpowiedź: A. $2$

$\displaystyle 7n^2 + 21n =$ $\displaystyle 7n(n + 3)$

$n$ i $n+3$ mają różną parzystość. Iloczyn liczby parzystej i nieparzystej jest parzysty, więc $n(n+3)$ dzieli się przez $2$.

$\displaystyle n(n+3) =$ $\displaystyle 2k$, gdzie $k \in \mathbb{C}$

$\displaystyle 7 \cdot 2k =$ $\displaystyle 14k$

Liczba jest wielokrotnością $14$, c.n.d.

Rozwiązania równania:

$\displaystyle x + 3 = 0 \implies x = -3$

$\displaystyle x - m = 0 \implies x = m$

$\displaystyle 2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$

Suma rozwiązań:

$\displaystyle -3 + m + (-2) =$ $\displaystyle 0$

$\displaystyle m - 5 =$ $\displaystyle 0$

$\displaystyle m =$ $\displaystyle 5$

Odpowiedź: B. $5$

Dziedzina:

$\displaystyle 3x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3}$

Mnożymy na krzyż:

$\displaystyle 5(x + 2) =$ $\displaystyle 2(3x - 1)$

$\displaystyle 5x + 10 =$ $\displaystyle 6x - 2$

$\displaystyle 12 =$ $\displaystyle x$

$\displaystyle x =$ $\displaystyle 12$

Odpowiedź: B. $12$

$\displaystyle 3x^2 + 4x - 6x - 8 \ge 0$

$\displaystyle 3x^2 - 2x - 8 \ge 0$

$\displaystyle \Delta =$ $\displaystyle (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) =$ $\displaystyle 4 + 96 =$ $\displaystyle 100$

$\displaystyle \sqrt{\Delta} =$ $\displaystyle 10$

$\displaystyle x_1 =$ $\displaystyle \frac{2 - 10}{6} =$ $\displaystyle \frac{-8}{6} =$ $\displaystyle -\frac{4}{3}$

$\displaystyle x_2 =$ $\displaystyle \frac{2 + 10}{6} =$ $\displaystyle \frac{12}{6} =$ $\displaystyle 2$

Ramiona paraboli w górę.

Odpowiedź: $\displaystyle x \in \left(-\infty, -\frac{4}{3}\right] \cup [2, \infty)$

$x$ - liczba biletów normalnych
$y$ - liczba biletów ulgowych

$\displaystyle x + y = 200 \implies x = 200 - y$

Pozostało $75\%$ z całości wpływów:

$\displaystyle 0{,}75 \cdot (35x + 25y) =$ $\displaystyle 4665$

$\displaystyle 35x + 25y =$ $\displaystyle 4665 : 0{,}75$

$\displaystyle 35x + 25y =$ $\displaystyle 6220$

Podstawiamy za $x$:

$\displaystyle 35(200 - y) + 25y =$ $\displaystyle 6220$

$\displaystyle 7000 - 35y + 25y =$ $\displaystyle 6220$

$\displaystyle 7000 - 10y =$ $\displaystyle 6220$

$\displaystyle 10y =$ $\displaystyle 7000 - 6220$

$\displaystyle 10y =$ $\displaystyle 780$

$\displaystyle y =$ $\displaystyle 78$

Odpowiedź: $78$

1. $\displaystyle f(x) =$ $\displaystyle 3$

Z wykresu lub wzoru:

$\displaystyle x + 2 =$ $\displaystyle 3 \implies x =$ $\displaystyle 1$

Odpowiedź: $1$

2. W przedziale $[2, 3]$ funkcja maleje.

$\displaystyle f(2) =$ $\displaystyle 2 + 2 =$ $\displaystyle 4$

Odpowiedź: $4$

1. Odczyt z osi $OY$:

$\displaystyle y_{min} =$ $\displaystyle -2$

$\displaystyle y_{max} =$ $\displaystyle 4$

Odpowiedź: $[-2, 4]$

2. $\displaystyle f(x) >$ $\displaystyle 1$

Z wykresu prosta $y = 1$ przecina wykres w $x = -1$ oraz $x = 4$.

Odpowiedź: $(-1, 4)$

Funkcja malejąca $\implies$ $\displaystyle a < 0$ (F)

Przecięcie z osią $Oy$ w punkcie $(0, -3) \implies$ $\displaystyle b = -3 < 0$ (F)

Odpowiedź: F, F

Współczynnik kierunkowy $a$ to tangens kąta nachylenia prostej:

$\displaystyle \operatorname{tg}\alpha = a$

Z wykresu odczytujemy punkty $(-2, 0)$ oraz $(0, -3)$:

$\displaystyle a = \frac{-3 - 0}{0 - (-2)} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}$

$\displaystyle \operatorname{tg}\alpha = -\frac{3}{2}$

Odpowiedź: A

Postać kanoniczna:

$\displaystyle f(x) =$ $\displaystyle a(x - p)^2 + q$

$\displaystyle f(x) =$ $\displaystyle a(x - 3)^2 - 2$

Miejsce zerowe funkcji $g$:

$\displaystyle g(0) =$ $\displaystyle 0$

$\displaystyle f(0 + 1) =$ $\displaystyle 0$

$\displaystyle f(1) =$ $\displaystyle 0$

Podstawiamy $x = 1$:

$\displaystyle a(1 - 3)^2 - 2 =$ $\displaystyle 0$

$\displaystyle a(-2)^2 =$ $\displaystyle 2$

$\displaystyle 4a =$ $\displaystyle 2$

$\displaystyle a =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

Wzór funkcji:

$\displaystyle f(x) =$ $\displaystyle \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$

Rozwinięcie do postaci ogólnej:

$\displaystyle f(x) =$ $\displaystyle \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - 2$

$\displaystyle f(x) =$ $\displaystyle \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{9}{2} - 2$

$\displaystyle f(x) =$ $\displaystyle \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{5}{2}$

Odpowiedź: $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{5}{2}$

$\displaystyle a_1 =$ $\displaystyle 3 \cdot 1 + 5 =$ $\displaystyle 8$

$\displaystyle a_9 =$ $\displaystyle 3 \cdot 9 + 5 =$ $\displaystyle 32$

$\displaystyle a_k =$ $\displaystyle 3k + 5$

Własność ciągu geometrycznego:

$\displaystyle (a_9)^2 =$ $\displaystyle a_1 \cdot a_k$

$\displaystyle 32^2 =$ $\displaystyle 8 \cdot (3k + 5)$

$\displaystyle 1024 =$ $\displaystyle 8(3k + 5)$

$\displaystyle 128 =$ $\displaystyle 3k + 5$

$\displaystyle 3k =$ $\displaystyle 123$

$\displaystyle k =$ $\displaystyle 41$

Odpowiedź: $k = 41$

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$\displaystyle a_5 =$ $\displaystyle a_1 + 4r$

$\displaystyle 17 =$ $\displaystyle 1 + 4r$

$\displaystyle 16 =$ $\displaystyle 4r$

$\displaystyle r =$ $\displaystyle 4$

$\displaystyle a_9 =$ $\displaystyle a_1 + 8r =$ $\displaystyle 1 + 8 \cdot 4 =$ $\displaystyle 1 + 32 =$ $\displaystyle 33$

Odpowiedź: B. $33$

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$\displaystyle a_3 \cdot a_6 =$ $\displaystyle (a_1 \cdot q^2) \cdot (a_1 \cdot q^5) =$ $\displaystyle a_1^2 \cdot q^7 =$ $\displaystyle 18$

$\displaystyle a_2 \cdot a_7 =$ $\displaystyle (a_1 \cdot q) \cdot (a_1 \cdot q^6) =$ $\displaystyle a_1^2 \cdot q^7$

$\displaystyle a_2 \cdot a_7 =$ $\displaystyle 18$

Odpowiedź: $18$

$\displaystyle |AB|^2 + |BC|^2 =$ $\displaystyle |AC|^2$

$\displaystyle |AB|^2 + 2^2 =$ $\displaystyle (2\sqrt{10})^2$

$\displaystyle |AB|^2 + 4 =$ $\displaystyle 40$

$\displaystyle |AB|^2 =$ $\displaystyle 36$

$\displaystyle |AB| =$ $\displaystyle 6$

$\displaystyle \sin\gamma =$ $\displaystyle \frac{|AB|}{|AC|} =$ $\displaystyle \frac{6}{2\sqrt{10}} =$ $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}$

Odpowiedź: C

Kąt wpisany $CDA$ i kąt środkowy $AOC$ są oparte na tym samym łuku $AC$:

$\displaystyle \angle AOC =$ $\displaystyle 2 \cdot \angle CDA =$ $\displaystyle 2 \cdot 50^\circ =$ $\displaystyle 100^\circ$

$\displaystyle \angle BOA =$ $\displaystyle \angle AOC - \angle COB$

$\displaystyle \angle BOA =$ $\displaystyle 100^\circ - 30^\circ =$ $\displaystyle 70^\circ$

Odpowiedź: C. $70^\circ$

Proste $k$ i $l$ są równoległe, więc trójkąty $AOD$ i $COB$ są podobne (cecha kkk).

$\displaystyle \frac{|OD|}{|OB|} =$ $\displaystyle \frac{|OA|}{|OC|}$

$\displaystyle \frac{|OD|}{6} =$ $\displaystyle \frac{12}{8}$

$\displaystyle |OD| =$ $\displaystyle \frac{12 \cdot 6}{8} =$ $\displaystyle \frac{72}{8} =$ $\displaystyle 9$

Odpowiedź: B. $9$

Niech $\displaystyle |\angle KMN| =$ $\displaystyle |\angle NML| =$ $\displaystyle \alpha$

Wzór na pole trójkąta:

$\displaystyle P =$ $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \cdot \sin\alpha$

$\displaystyle P_{KNM} =$ $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot a \cdot |MN| \cdot \sin\alpha$

$\displaystyle P_{NLM} =$ $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot b \cdot |MN| \cdot \sin\alpha$

Stosunek pól:

$\displaystyle \frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} =$ $\displaystyle \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot |MN| \cdot \sin\alpha}{\frac{1}{2} \cdot b \cdot |MN| \cdot \sin\alpha} =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$

Odpowiedź: c.n.d.

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym:

$\displaystyle R =$ $\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\displaystyle 9\sqrt{3} =$ $\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\displaystyle 27\sqrt{3} =$ $\displaystyle a\sqrt{3}$

$\displaystyle a =$ $\displaystyle 27$

Odpowiedź: $27$

$\displaystyle \frac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{4\cos\alpha} =$ $\displaystyle 6$

Rozdzielamy ułamek:

$\displaystyle \frac{3\sin\alpha}{4\cos\alpha} + \frac{4\cos\alpha}{4\cos\alpha} =$ $\displaystyle 6$

$\displaystyle \frac{3}{4}\operatorname{tg}\alpha + 1 =$ $\displaystyle 6$

$\displaystyle \frac{3}{4}\operatorname{tg}\alpha =$ $\displaystyle 5$

$\displaystyle \operatorname{tg}\alpha =$ $\displaystyle 5 \cdot \frac{4}{3} =$ $\displaystyle \frac{20}{3}$

Odpowiedź: D

Punkty $A = (0, -3)$ i $C = (0, 2)$ leżą na osi $y$.

Długość boku $AC$ (podstawa trójkąta):

$\displaystyle |AC| = 2 - (-3) = 5$

Wysokość trójkąta opuszczona z wierzchołka $B = (2, 1)$ na bok $AC$ leżący na osi $y$ jest równa współrzędnej $x$ punktu $B$:

$\displaystyle h = 2$

Pole trójkąta:

$\displaystyle P = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5$

Odpowiedź: B. $5$

Trójkąt $ABC$ jest prostokątny. Najdłuższy bok to przeciwprostokątna. Oś $y$ zawiera bok $AC$. Sprawdźmy trójkąt.

$\displaystyle |AC| = 5$

$\displaystyle |AB| = \sqrt{(2-0)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$

$\displaystyle |BC| = \sqrt{(2-0)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$|AB|^2 + |BC|^2 = 20 + 5 = 25 = |AC|^2$. Trójkąt jest prostokątny przy wierzchołku $B$.

Przeciwprostokątną jest $AC$. Środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej $AC$.

Współrzędne środka odcinka $AC$:

$\displaystyle x_S = \frac{0 + 0}{2} = 0$

$\displaystyle y_S = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$

Środek: $\displaystyle \left(0, -\frac{1}{2}\right)$

Odpowiedź: D

Wzór na okrąg: $\displaystyle (x - x_S)^2 + (y - y_S)^2 =$ $\displaystyle r^2$

$\displaystyle (x - 1)^2 + (y + 3)^2 =$ $\displaystyle 5^2$

$\displaystyle (x - 1)^2 + (y + 3)^2 =$ $\displaystyle 25 \implies$ drugie stwierdzenie to fałsz.

Podstawiamy współrzędne punktu $A$:

$\displaystyle (4 - 1)^2 + (-7 + 3)^2 =$ $\displaystyle 3^2 + (-4)^2 =$ $\displaystyle 9 + 16 =$ $\displaystyle 25 \implies$ pierwsze stwierdzenie to prawda.

Odpowiedź: P, F

$\displaystyle l \parallel k \implies a_l =$ $\displaystyle a_k =$ $\displaystyle -\frac{1}{3}$

Prosta $l$: $\displaystyle y =$ $\displaystyle -\frac{1}{3}x + b$

Podstawiamy punkt $(2, -2)$:

$\displaystyle -2 =$ $\displaystyle -\frac{1}{3} \cdot 2 + b$

$\displaystyle -2 =$ $\displaystyle -\frac{2}{3} + b$

$\displaystyle b =$ $\displaystyle -2 + \frac{2}{3} =$ $\displaystyle -\frac{6}{3} + \frac{2}{3} =$ $\displaystyle -\frac{4}{3}$

Przecięcie z osią $Oy$ to punkt $\displaystyle (0, b)$.

Odpowiedź: D. $\displaystyle \left(0, -\frac{4}{3}\right)$

$\displaystyle d =$ $\displaystyle 8\sqrt{3}$

Pole podstawy:

$\displaystyle P_p =$ $\displaystyle \frac{d^2}{2} =$ $\displaystyle \frac{(8\sqrt{3})^2}{2} =$ $\displaystyle \frac{192}{2} =$ $\displaystyle 96$

Wysokość ostrosłupa $H$:

$\displaystyle \frac{H}{\frac{1}{2}d} =$ $\displaystyle \operatorname{tg} 30^\circ$

$\displaystyle \frac{H}{4\sqrt{3}} =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\displaystyle H =$ $\displaystyle 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} =$ $\displaystyle 4$

Objętość:

$\displaystyle V =$ $\displaystyle \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H =$ $\displaystyle \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 4 =$ $\displaystyle 32 \cdot 4 =$ $\displaystyle 128$

Odpowiedź: $128$

$\displaystyle H_s = H_w = H$

$\displaystyle r_s = 2r_w$

$\displaystyle V_s = \frac{1}{3}\pi(2r_w)^2H = \frac{4}{3}\pi r_w^2H$

$\displaystyle V_w = \pi r_w^2H$

$\displaystyle \frac{V_s}{V_w} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_w^2H}{\pi r_w^2H} = \frac{4}{3}$

Odpowiedź: D

Cyfra setek (bez zera): $6$ opcji

Cyfra dziesiątek: $7$ opcji

Cyfra jedności (nieparzysta: $\{1, 3, 5\}$): $3$ opcje

Reguła mnożenia:

$\displaystyle 6 \cdot 7 \cdot 3$

Odpowiedź: A

$\displaystyle |\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$

Podzielna przez $6$ to podzielna przez $2$ i $3$.

Cyfra jedności z $Y$ zawsze jest parzysta. Suma cyfr musi dzielić się przez $3$.

$A = \{(1,2), (1,8), (3,0), (3,6), (5,4), (7,2), (7,8), (9,0), (9,6)\}$

$\displaystyle |A| = 9$

$\displaystyle P(A) = \frac{9}{25}$

Odpowiedź: $\displaystyle P(A) = \frac{9}{25}$

Klasa IV A (średnia i mediana):

$\displaystyle n_A = 1 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 20$

$\displaystyle \bar{x}_A = \frac{1\cdot 1 + 2\cdot 6 + 3\cdot 3 + 4\cdot 3 + 5\cdot 6 + 6\cdot 1}{20} = \frac{70}{20} = 3{,}5$

$\displaystyle M_A = \frac{a_{10} + a_{11}}{2} = \frac{3 + 4}{2} = 3{,}5$

Klasa IV B (średnia i mediana):

$\displaystyle n_B = 1 + 3 + 6 + 6 + 3 + 1 = 20$

$\displaystyle \bar{x}_B = \frac{1\cdot 1 + 2\cdot 3 + 3\cdot 6 + 4\cdot 6 + 5\cdot 3 + 6\cdot 1}{20} = \frac{70}{20} = 3{,}5$

$\displaystyle M_B = \frac{a_{11} + a_{12}}{2} = \frac{3 + 4}{2} = 3{,}5$

Oba rozkłady są symetryczne.

Odpowiedź: P, P

$\displaystyle \frac{a+b+c}{3} = 2 \implies a+b+c = 6$

$\displaystyle \frac{d+e+f+g}{4} = 5{,}5 \implies d+e+f+g = 22$

Suma wszystkich liczb:

$\displaystyle 6 + 22 = 28$

Średnia:

$\displaystyle \frac{28}{7} = 4$

Odpowiedź: C. $4$

$\displaystyle h(t) = 0$

$\displaystyle -4{,}9t^2 + 14{,}7t = 0$

$\displaystyle t(-4{,}9t + 14{,}7) = 0$

$\displaystyle t = 0 \quad \lor \quad -4{,}9t + 14{,}7 = 0$

$\displaystyle 4{,}9t = 14{,}7$

$\displaystyle t = 3$

Odpowiedź: A

Wzór na wysokość to funkcja kwadratowa. Największa wysokość jest w wierzchołku paraboli.

$\displaystyle p = \frac{-b}{2a}$

$\displaystyle t_{max} = \frac{-14{,}7}{2 \cdot (-4{,}9)} = \frac{-14{,}7}{-9{,}8} = 1{,}5$

Odpowiedź: A. $t = 1{,}5\text{ s}$