Rozwiązanie:

Zapisujemy liczby $a$ i $b$ w postaci algebraicznej ($k, m \in \mathbb{Z}$):
$\displaystyle a =$ --wybierz-- \( \displaystyle 5k \) \( \displaystyle 5k + 1 \) \( \displaystyle k + 5 \) Liczba dająca resztę \(1\) przy dzieleniu przez \(5\) ma postać \(5 \cdot \text{liczba całkowita} + 1\).
$\displaystyle b =$ --wybierz-- \( \displaystyle 5m + 4 \) \( \displaystyle 4m + 5 \) \( \displaystyle 5m + 1 \) Liczba dająca resztę \(4\) przy dzieleniu przez \(5\) ma postać \(5 \cdot \text{liczba całkowita} + 4\).

Podstawiamy do wyrażenia:

$\displaystyle a^2 - b^2 =$ --wybierz-- \( \displaystyle (5k + 1) - (5m + 4) \) \( \displaystyle (5k + 1)^2 - (5m + 4)^2 \) \( \displaystyle (5k^2 + 1) - (5m^2 + 4) \) Podstaw całe wyrażenia opisujące \(a\) i \(b\) w nawiasach i podnieś je do kwadratu.

$=$ --wybierz-- \( \displaystyle (25k^2 + 1) - (25m^2 + 16) \) \( \displaystyle (25k^2 + 10k + 1) - (25m^2 + 40m + 16) \) \( \displaystyle (5k^2 + 5k + 1) - (5m^2 + 20m + 16) \) Skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia: \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\).

$=$ --wybierz-- \( \displaystyle 25k^2 + 10k + 1 - 25m^2 + 40m + 16 \) \( \displaystyle 25k^2 + 10k + 1 - 25m^2 - 40m - 16 \) \( \displaystyle 25k^2 + 10k + 1 - 25m^2 - 40m + 16 \) Minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich składników wewnątrz nawiasu na przeciwne.

$=$ --wybierz-- \( \displaystyle 25k^2 - 25m^2 + 10k - 40m - 15 \) \( \displaystyle 25k^2 - 25m^2 + 10k - 40m + 17 \) \( \displaystyle 25k^2 - 25m^2 + 10k - 40m - 1 \) Oblicz: \(1 - 16 = -15\).

$=$ --wybierz-- \( \displaystyle 5(5k^2 - 5m^2 + 2k - 8m - 15) \) \( \displaystyle 5(5k^2 - 5m^2 + 2k - 8m - 3) \) \( \displaystyle 5(25k^2 - 25m^2 + 10k - 40m - 3) \) Podziel każdy składnik wyrażenia przez \(5\).

Otrzymana liczba jest iloczynem $5$ i liczby całkowitej --wybierz-- \( \displaystyle 5 \) \( \displaystyle 5k^2 - 5m^2 + 2k - 8m - 3 \) \( \displaystyle k, m \) , zatem jest podzielna przez $5$. Wyrażenie w nawiasie jest sumą i różnicą liczb całkowitych, więc jest liczbą całkowitą.

CND.