Rozwiązanie:

Przekształcamy nierówność:

$\displaystyle x(x + 4) < x - 2 $

--wybierz-- \( \displaystyle x^2 + 4x < x - 2 \) \( \displaystyle x^2 + 4 < x - 2 \) \( \displaystyle 2x + 4 < x - 2 \) Wymnóż nawias przez \( x \): \( x \cdot x + x \cdot 4 \).

--wybierz-- \( \displaystyle x^2 + 4x - x - 2 < 0 \) \( \displaystyle x^2 + 4x - x + 2 < 0 \) \( \displaystyle x^2 + 4x + x - 2 < 0 \) Przenieś wyrazy z prawej strony na lewą, zmieniając ich znaki na przeciwne.

--wybierz-- \( \displaystyle x^2 + 3x + 2 < 0 \) \( \displaystyle x^2 + 5x + 2 < 0 \) \( \displaystyle x^2 + 3x - 2 < 0 \) Zredukuj wyrazy podobne: \( 4x - x = 3x \).

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego ($\Delta$) i miejsca zerowe:
$\displaystyle \Delta =$ --wybierz-- \( \displaystyle 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) \) \( \displaystyle 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \) \( \displaystyle 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \) Wzór na deltę to \( b^2 - 4ac \). Tutaj \( a=1, b=3, c=2 \). $=$ --wybierz-- \( \displaystyle 9 - 6 = 3 \) \( \displaystyle 9 - 8 = 1 \) \( \displaystyle 6 - 8 = -2 \) Oblicz wartości: \( 3^2 = 9 \) oraz \( 4 \cdot 1 \cdot 2 = 8 \).

$\displaystyle \sqrt{\Delta} =$ --wybierz-- \( \displaystyle 1 \) \( \displaystyle 2 \) \( \displaystyle 0 \) Pierwiastek z \( 1 \) to \( 1 \).

$\displaystyle x_1 =$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{3 - 1}{2} \) \( \displaystyle \frac{-3 - 1}{2} \) \( \displaystyle \frac{-3 - 1}{1} \) Wzór na pierwszy pierwiastek: \( \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \). $=$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{-2}{2} \) \( \displaystyle \frac{-4}{2} \) \( \displaystyle \frac{-3}{2} \) Oblicz licznik: \( -3 - 1 = -4 \). $=$ --wybierz-- \( \displaystyle -2 \) \( \displaystyle 2 \) \( \displaystyle -4 \) Podziel \( -4 \) przez \( 2 \).

$\displaystyle x_2 =$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{-3 + 1}{2} \) \( \displaystyle \frac{3 + 1}{2} \) \( \displaystyle \frac{-3 + 1}{4} \) Wzór na drugi pierwiastek: \( \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \). $=$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{-4}{2} \) \( \displaystyle \frac{-2}{2} \) \( \displaystyle \frac{2}{2} \) Oblicz licznik: \( -3 + 1 = -2 \). $=$ --wybierz-- \( \displaystyle 1 \) \( \displaystyle -2 \) \( \displaystyle -1 \) Podziel \( -2 \) przez \( 2 \).

Parabola ma ramiona skierowane --wybierz-- w dół w górę . Współczynnik przy \( x^2 \) jest dodatni (\( a=1 \)), więc ramiona są skierowane w górę.

Trójmian kwadratowy jest mniejszy od zera, więc patrzymy, dla jakich $x$ wykres leży --wybierz-- powyżej osi \( Ox \) poniżej osi \( Ox \) na osi \( Ox \) . Nierówność ma znak \( < \), więc szukamy wartości ujemnych (pod osią).

Odpowiedź: $x \in$ --wybierz-- \( \displaystyle \langle -2, -1 \rangle \) \( \displaystyle (-2, -1) \) \( \displaystyle (-\infty, -2) \cup (-1, \infty) \) Rozwiązaniem jest przedział między miejscami zerowymi. Nawiasy są otwarte, bo nierówność jest ostra (\( < \)).