Rozwiązanie:

Zadanie 12.1. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

Wzór ogólny postaci kanonicznej: $f(x) =$ --wybierz-- \( \displaystyle ax^2 + bx + c \) \( \displaystyle a(x - p)^2 + q \) \( \displaystyle a(x - x_1)(x - x_2) \) Postać kanoniczna wykorzystuje współrzędne wierzchołka \( (p, q) \).

Współrzędne wierzchołka $W=$ --wybierz-- \( \displaystyle (3, 6) \) \( \displaystyle (6, 3) \) \( \displaystyle (0, 3) \) Odczytaj współrzędne wierzchołka z treści zadania lub wykresu. $\implies$ --wybierz-- \( \displaystyle p=6, q=3 \) \( \displaystyle p=3, q=6 \) \( \displaystyle p=0, q=3 \) Wierzchołek oznaczamy jako \( W=(p, q) \).

Podstawiamy do wzoru: $f(x) =$ --wybierz-- \( \displaystyle a(x - 3)^2 + 6 \) \( \displaystyle a(x - 6)^2 + 3 \) \( \displaystyle a(x + 3)^2 + 6 \) Podstaw \( p=3 \) i \( q=6 \) do wzoru \( a(x-p)^2+q \).

Wyznaczamy współczynnik $a$, podstawiając punkt przecięcia z osią $Oy$: --wybierz-- \( \displaystyle (3, 0) \) \( \displaystyle (0, 3) \) \( \displaystyle (3, 6) \) Punkt na osi \( Oy \) ma pierwszą współrzędną \( x=0 \).

--wybierz-- \( \displaystyle 3 = a(0 - 3)^2 + 6 \) \( \displaystyle 0 = a(3 - 3)^2 + 6 \) \( \displaystyle 3 = a(0 - 3)^2 \) Podstaw \( x=0 \) i \( y=3 \) do wzoru funkcji.

$\displaystyle 3 =$ --wybierz-- \( \displaystyle a \cdot (-3) + 6 \) \( \displaystyle a \cdot 9 + 6 \) \( \displaystyle a \cdot 6 + 6 \) Oblicz \( (0-3)^2 = (-3)^2 = ? \).

--wybierz-- \( \displaystyle 9a = -3 \) \( \displaystyle 9a = 9 \) \( \displaystyle 9a = 3 \) Przenieś \( 6 \) na drugą stronę: \( 3 - 6 = ? \).

$\displaystyle a =$ --wybierz-- \( \displaystyle -\frac{9}{3} \) \( \displaystyle -\frac{3}{9} \) \( \displaystyle \frac{3}{9} \) Podziel obie strony równania przez \( 9 \). $=$ --wybierz-- \( \displaystyle -\frac{1}{3} \) \( \displaystyle -3 \) \( \displaystyle \frac{1}{3} \) Skróć ułamek przez \( 3 \).

Odpowiedź: $f(x) =$ --wybierz-- \( \displaystyle 3(x - 3)^2 + 6 \) \( \displaystyle -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6 \) \( \displaystyle -\frac{1}{3}(x - 6)^2 + 3 \) Zapisz pełny wzór z wyliczonym \( a \), \( p \) oraz \( q \).

---

Zadanie 12.2. Oś symetrii wykresu funkcji $f$.

Oś symetrii paraboli to prosta przechodząca przez wierzchołek ($x = p$).

$p = 3 \implies$ --wybierz-- \( \displaystyle y = 3 \) \( \displaystyle x = 3 \) \( \displaystyle x = 6 \) Równanie osi symetrii to \( x = p \). .

Odpowiedź: ($x = 3$)

---

Zadanie 12.3. Suma $x_1 + x_2$ miejsc zerowych funkcji $g(x) = f(x) - 3$.

Miejsca zerowe funkcji $g$:

$\displaystyle g(x) = 0 \iff$ --wybierz-- \( \displaystyle f(x) - 3 = 0 \) \( \displaystyle f(x) = 0 \) \( \displaystyle f(x) + 3 = 0 \) Podstaw wzór funkcji \( g(x) \).

$\iff$ --wybierz-- \( \displaystyle f(x) = -3 \) \( \displaystyle f(x) = 3 \) \( \displaystyle f(x) = 0 \) Przenieś \( -3 \) na prawą stronę równania.

Szukamy argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość $3$.
Jeden punkt to --wybierz-- \( \displaystyle x_1 = 3 \) \( \displaystyle x_1 = 0 \) \( \displaystyle x_1 = 6 \) Z treści zadania wiemy, że wykres przecina oś Oy w punkcie \( (0, 3) \).

Drugi punkt $x_2$ jest symetryczny do $0$ względem liczby --wybierz-- \( \displaystyle 3 \) \( \displaystyle 0 \) \( \displaystyle 6 \) Punkty o tej samej wartości funkcji są symetryczne względem osi symetrii \( x=p \).

--wybierz-- \( \displaystyle x_1 + x_2 = 3 \) \( \displaystyle \frac{x_1 + x_2}{2} = 3 \) \( \displaystyle \frac{x_1 + x_2}{2} = 6 \) Średnia arytmetyczna argumentów to współrzędna wierzchołka \( p \).

$\implies$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{0 + x_2}{2} = 3 \) \( \displaystyle \frac{3 + x_2}{2} = 0 \) Podstaw \( x_1 = 0 \).

$\implies$ --wybierz-- \( \displaystyle x_2 = 3 \) \( \displaystyle x_2 = 6 \) \( \displaystyle x_2 = 1.5 \) Rozwiąż równanie: jaka liczba podzielona przez 2 daje 3?

Obliczamy sumę:
$\displaystyle x_1 + x_2 =$ --wybierz-- \( \displaystyle 0 + 3 = 3 \) \( \displaystyle 0 + 6 = 6 \) \( \displaystyle 3 + 3 = 6 \) Dodaj wyznaczone miejsca zerowe.

Odpowiedź: $6$