Rozwiązanie:

Zadanie 18.1. Tangens kąta $\alpha$.

$D$ jest środkiem $AB$:
$\displaystyle |AD| =$ --wybierz-- \( |AB| \) \( \displaystyle \frac{1}{2}|AB| \) \( 2|AB| \) Środkowa dzieli bok na dwie równe części. $=$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 6 \) \( \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 5 \) \( 6 \) Podstawiamy długość boku \( |AB|=6 \). $=$ --wybierz-- \( 2 \) \( 3 \) \( 12 \) Połowa z 6 to 3.

Trójkąt $ADC$ jest prostokątny. Obliczamy przyprostokątną $|AC|$ z --wybierz-- twierdzenia Talesa twierdzenia Pitagorasa wzoru na pole : Dla trójkąta prostokątnego stosujemy twierdzenie: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

--wybierz-- \( \displaystyle |AC|^2 + |CD|^2 = |AD|^2 \) \( \displaystyle |AC|^2 + |AD|^2 = |CD|^2 \) \( \displaystyle |AC| + |AD| = |CD| \) Suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. W trójkącie \( ADC \) przeciwprostokątną jest \( CD \).

--wybierz-- \( \displaystyle|AC|^2 + 5^2 = 3^2 \) \( \displaystyle|AC|^2 + 3^2 = 5^2 \) \( \displaystyle|AC|^2 = 3^2 + 5^2 \) Podstawiamy \( |AD|=3 \) i \( |CD|=5 \). $\implies \displaystyle |AC|^2 =$ --wybierz-- \( 25 - 9 \) \( 25 + 9 \) \( 9 - 25 \) Przenosimy \( 3^2 \) na drugą stronę ze znakiem przeciwnym. $=$ --wybierz-- \( 16 \) \( 34 \) \( 14 \) Wykonujemy odejmowanie. $\implies |AC| =$ --wybierz-- \( \displaystyle 8 \) \( \displaystyle 4 \) \( \displaystyle \sqrt{34} \) Pierwiastek z \( 16 \).

Obliczamy tangens kąta $\alpha$ w trójkącie $ADC$:
$\displaystyle \operatorname{tg} \alpha =$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{|AD|}{|AC|} \) \( \displaystyle \frac{|AC|}{|AD|} \) \( \displaystyle \frac{|AC|}{|CD|} \) Tangens to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta (\( AC \)) do przyprostokątnej leżącej przy kącie (\( AD \)). $=$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{3}{4} \) \( \displaystyle \frac{4}{3} \) \(\displaystyle \frac{4}{5} \) Podstawiamy obliczone długości boków.

Odpowiedź: D ($\frac{4}{3}$)


Zadanie 18.2. Sinus kąta $\beta$. Obliczamy przeciwprostokątną $|BC|$ całego trójkąta $ABC$ z --wybierz-- wzorów skróconego mnożenia twierdzenia Pitagorasa definicji sinusa : Znów stosujemy twierdzenie Pitagorasa, tym razem dla dużego trójkąta \( ABC \).

--wybierz-- \( \displaystyle |BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 \) \( \displaystyle |BC|^2 = |AC|^2 - |AB|^2 \) \( \displaystyle |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 \) \( BC \) jest przeciwprostokątną.

$\displaystyle \displaystyle |BC|^2 =$ --wybierz-- \( \displaystyle3^2 + 6^2 \) \( \displaystyle 4^2 + 6^2 \) \( \displaystyle 4^2 + 5^2 \) Podstawiamy \( |AC|=4 \) i \( |AB|=6 \). $=$ --wybierz-- \( 16 + 36 \) \( 8 + 12 \) \( 16 + 25 \) Obliczamy kwadraty. $=$ --wybierz-- \( 42 \) \( 52 \) \( 50 \) Sumujemy. $\implies \displaystyle |BC| =$ --wybierz-- \( \displaystyle\sqrt{52} \) \( \displaystyle 52 \) \( \displaystyle 7 \) Pierwiastkujemy wynik. $=$ --wybierz-- \( \displaystyle 4\sqrt{13} \) \( \displaystyle 2\sqrt{13} \) \( \displaystyle 13\sqrt{2} \) Wyłączamy czynnik przed pierwiastek: \( \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} \).

Obliczamy sinus kąta $\beta$:
$\displaystyle \sin \beta =$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{|AB|}{|BC|} \) \( \displaystyle \frac{|AC|}{|BC|} \) \( \displaystyle \frac{|AC|}{|AB|} \) Sinus to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta (\( AC \)) do przeciwprostokątnej (\( BC \)). $=$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{4}{2\sqrt{13}} \) \( \displaystyle \frac{6}{2\sqrt{13}} \) \( \displaystyle \frac{4}{52} \) Podstawiamy wartości boków. $=$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{13}} \) \( \displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}} \) \( \displaystyle \frac{4}{\sqrt{13}} \) Skracamy ułamek przez 2.

Odpowiedź: $\frac{2}{\sqrt{13}}$