Rozwiązanie:

1. Wyznaczenie wymiarów i dziedziny.

$h$ - wysokość $BF$.

Suma krawędzi wychodzących w wierzchołka $B$ to:
--wybierz-- \( \displaystyle 4 \cdot x \cdot h = 15 \) \( \displaystyle x + 4 + h = 15 \) \( \displaystyle x + 4 + 15 = h \) Z wierzchołka \( B \) wychodzą trzy krawędzie: długość (\( x \)), szerokość (\( 4 \)) i wysokość (\( h \)).

$\displaystyle h =$ --wybierz-- \( \displaystyle 15 - 4 - x \) \( \displaystyle 15 - 4 + x \) \( \displaystyle 15 + 4 - x \) Przekształć równanie, aby wyznaczyć \( h \). $=$ --wybierz-- \( \displaystyle 19 - x \) \( \displaystyle 11 - x \) \( \displaystyle 11 + x \) Odejmij liczby: \( 15 - 4 \).

Warunki geometryczne (długości boków muszą być dodatnie):
$\displaystyle x$ --wybierz-- \( > 0 \) \( < 0 \) \( = 0 \) Długość boku nie może być ujemna ani równa zero.

$\displaystyle h$ --wybierz-- \( < 0 \) \( > 0 \) Wysokość również musi być dodatnia. $\implies$ --wybierz-- \( \displaystyle 11 - x > 0 \) \( \displaystyle 11 - x < 0 \) \( \displaystyle 11 + x > 0 \) Podstaw wyznaczone wcześniej wyrażenie na \( h \). $\implies$ --wybierz-- \( \displaystyle x > 11 \) \( \displaystyle x < 11 \) \( \displaystyle x > -11 \) Rozwiąż nierówność: przenieś \( x \) na drugą stronę.

Dziedzina: $x \in$ --wybierz-- \( (0, +\infty) \) \( (0, 11) \) \( (-\infty, 11) \) . Część wspólna warunków \( x > 0 \) i \( x < 11 \).

2. Wzór funkcji pola powierzchni całkowitej $P(x)$.

Pole całkowite prostopadłościanu o wymiarach $x, 4, (11-x)$:
$\displaystyle P(x) =$ --wybierz-- \( \displaystyle 2 \cdot (x \cdot 4 + 4 \cdot (11-x) + x \cdot (11-x)) \) \( \displaystyle x \cdot 4 \cdot (11-x) \) \( \displaystyle 2 \cdot (x + 4 + 11 - x) \) Wzór na pole całkowite to suma pól wszystkich par ścian: \( 2ab + 2bc + 2ac \).

Upraszczamy wyrażenie:
$\displaystyle P(x) =$ --wybierz-- \( \displaystyle 2 \cdot (4x + 44 - 4x + 11 - x) \) \( \displaystyle 2 \cdot (4x + 44 - 4x + 11x - x^2) \) \( \displaystyle 2 \cdot (4x + 44 + 4x + 11x - x^2) \) Wykonaj mnożenie w nawiasach: \( 4(11-x) = 44-4x \) oraz \( x(11-x) = 11x-x^2 \).

$\displaystyle P(x) =$ --wybierz-- \( \displaystyle 2 \cdot (-x^2 + 11x + 44) \) \( \displaystyle 2 \cdot (x^2 + 11x + 44) \) \( \displaystyle 2 \cdot (-x^2 + 19x + 44) \) Redukcja wyrazów podobnych: \( 4x - 4x + 11x = 11x \).

$\displaystyle P(x) =$ --wybierz-- \( \displaystyle -2x^2 + 11x + 44 \) \( \displaystyle -2x^2 + 22x + 88 \) \( \displaystyle -x^2 + 22x + 44 \) Pomnóż każdy wyraz w nawiasie przez \( 2 \).

3. Optymalizacja.

Funkcja $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ to parabola skierowana ramionami --wybierz-- w dół w górę . Współczynnik przy \( x^2 \) wynosi \( -2 \) (jest ujemny). Wartość największą przyjmuje dla --wybierz-- drugiej współrzędnej \( q \) pierwszej współrzędnej \( p \) miejsca zerowego wierzchołka. Szukamy argumentu (\( x \)), dla którego funkcja jest największa, czyli współrzędnej \( p \).

$\displaystyle p =$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{-b}{2a} \) \( \displaystyle \frac{-\Delta}{4a} \) \( \displaystyle \frac{c}{a} \) Wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli. $=$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{-22}{2 \cdot 2} \) \( \displaystyle \frac{-22}{2 \cdot (-2)} \) \( \displaystyle \frac{22}{2 \cdot (-2)} \) Podstaw \( b = 22 \) oraz \( a = -2 \). $=$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{-22}{-4} \) \( \displaystyle \frac{-22}{4} \) Wykonaj mnożenie w mianowniku. $=$ --wybierz-- \( 5 \) \( 5{,}5 \) \( -5{,}5 \) Dzielenie dwóch liczb ujemnych daje liczbę dodatnią.

Sprawdzamy, czy wynik należy do dziedziny (punkt 1):
$5{,}5$ --wybierz-- \( \in (0, 11) \) \( \notin (0, 11) \) $\implies$ TAK. Czy liczba \( 5{,}5 \) mieści się w przedziale od \( 0 \) do \( 11 \)?

Odpowiedź: Wzór funkcji: $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$, dziedzina: $(0, 11)$. Pole jest największe dla $x = 5{,}5$.