Rozwiązanie:

Wyznaczenie wzoru funkcji:

Oś symetrii ($x=1$) leży dokładnie --wybierz-- w wierzchołku trójkąta pośrodku miejsc zerowych na lewo od miejsc zerowych . Oś symetrii paraboli znajduje się dokładnie w połowie odległości między miejscami zerowymi.
Niech $x_1 = 6$, szukamy $x_2$:

$\displaystyle$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \) \( \displaystyle \frac{x_1 - x_2}{2} = 1 \) \( \displaystyle x_1 + x_2 = 1 \) $\implies$ Wzór na współrzędną $x$ wierzchołka (oś symetrii) to średnia arytmetyczna miejsc zerowych. --wybierz-- \( \displaystyle \frac{6 - x_2}{2} = 1 \) \( \displaystyle \frac{6 + x_2}{2} = 1 \) \( \displaystyle \frac{x_2}{2} = 1 \) $\implies$ Podstawiamy $x_1 = 6$ do wzoru. --wybierz-- \( \displaystyle 6 + x_2 = 2 \) \( \displaystyle 6 + x_2 = 1 \) \( \displaystyle x_2 = 2 \) $\implies x_2 =$ Mnożymy obie strony równania przez $2$. --wybierz-- \( \displaystyle 4 \) \( \displaystyle -2 \) \( \displaystyle -4 \) Odejmujemy $6$ od obu stron: $2 - 6$.

Postać iloczynowa funkcji to $f(x) =$ --wybierz-- \( \displaystyle a(x - p)^2 + q \) \( \displaystyle a(x - x_1)(x - x_2) \) \( \displaystyle ax^2 + bx + c \) .
Podstawiamy $a=\frac{1}{2}$, $x_1=6$, $x_2=-4$: Korzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej.

$\displaystyle f(x) =$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{1}{2}(x - 6)(x - (-4)) \) \( \displaystyle \frac{1}{2}(x + 6)(x - 4) \) \( \displaystyle (x - 6)(x + 4) \) $=$ Pamiętaj o uwzględnieniu współczynnika $a = \frac{1}{2}$. --wybierz-- \( \displaystyle \frac{1}{2}(x - 4)(x + 6) \) \( \displaystyle \frac{1}{2}(x + 4)(x - 6) \) \( \displaystyle \frac{1}{2}(x - 4)(x - 6) \) Dwa minusy dają plus: $x - (-4) = x + 4$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.
Współczynnik $c$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.

Przekształcamy wzór z zadania 14.1 do postaci ogólnej:

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}(x + 4)(x - 6) =$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{1}{2}(x^2 - 10x - 24) \) \( \displaystyle \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 4x - 24) \) \( \displaystyle \frac{1}{2}(x^2 + 2x - 24) \) Wymnażamy nawiasy "każdy przez każdy". $=$ --wybierz-- \( \displaystyle \frac{1}{2}(x^2 - 2x - 24) \) \( \displaystyle \frac{1}{2}(x^2 + 2x - 24) \) \( \displaystyle \frac{1}{2}(x^2 - 10x - 24) \) $=$ Redukujemy wyrazy podobne w nawiasie: $-6x + 4x = -2x$. --wybierz-- \( \displaystyle \frac{1}{2}x^2 - x - 24 \) \( \displaystyle \frac{1}{2}x^2 - x - 12 \) \( \displaystyle \frac{1}{2}x^2 - 2x - 12 \) Mnożymy każdy wyraz w nawiasie przez $\frac{1}{2}$.

Odczytujemy współczynniki: $b =$ --wybierz-- \( \displaystyle 1 \) \( \displaystyle -1 \) \( \displaystyle -2 \) , Współczynnik przy $x$ to $b$. $c =$ --wybierz-- \( \displaystyle 12 \) \( \displaystyle -12 \) \( \displaystyle -24 \) . Wyraz wolny to $c$.

Obie liczby są ujemne.
Odpowiedź: F, F

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x) = f(x - 3)$. Wyznacz równanie osi symetrii funkcji $g$.

Przekształcenie $f(x - 3)$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji o $3$ jednostki --wybierz-- w prawo w lewo w dół . Odejmując liczbę od argumentu $x$, przesuwamy wykres w prawo (zgodnie z osią OX).

Oś symetrii funkcji $f$ ($x = 1$) również przesuwa się o $3$ jednostki w prawo:
--wybierz-- \( \displaystyle 1 - 3 = -2 \) \( \displaystyle 1 + 3 = 4 \) \( \displaystyle 1 \cdot 3 = 3 \) Dodajemy wartość przesunięcia do starej osi symetrii.

Nowa oś symetrii to $x =$ --wybierz-- \( \displaystyle -2 \) \( \displaystyle 4 \) \( \displaystyle 3 \) .
Odpowiedź: D To wynik powyższego dodawania.