MatmaKlikalna.pl
Zaloguj się
4 kroki: Piosenki, video, notatki i zadania
1. Wysłuchaj piosenkę
2. Szybka teoria
Wstęp: Trójkąty podobne mają takie same kształty, choć mogą różnić się wielkością.
Skala podobieństwa $k$ oznacza, że wymiary jednego trójkąta różnią się od drugiego $k$ razy.
Odpowiednie kąty w tych trójkątach są równe - wystarczy więc, że wskażesz dwa takie same kąty - trójkąty będą podobne
na mocy cechy podobieństwa kąt-kąt.
Kluczowe zasady obliczeń:
- 📏 Układanie proporcji: Zawsze dobieraj boki w odpowiadające pary i ułóż odpowiednie proporcje. W powyższym trójkącie możemy zapisać, że: $$ \frac{3}{1}=\frac{6}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = k = 3$$
- 🦋 Mnożenie "na krzyż": Długość boku może być oznaczona literą - to oznacza, że trzeba wyznaczyć tę długość. Zapisujesz wtedy normalnie proporcje np. $\frac{3}{x}=\frac{1}{6}$. Najprościej je rozwiązać mnożąc "na krzyż": $3\cdot 6 =1\cdot x \Rightarrow x = 18$
- 🔲 Stosunek pól: Jeśli skala podobieństwa figur wynosi $k$ (czyli boki są $k$ razy zmienione),
to pole tej figury jest zmienione aż $k^2$ razy.
Przykład: Przy skali podobieństwa $k=5$ pole dużego kwadratu jest $k^2 = 25$ razy większe od pola małego kwadratu.
Twierdzenie Talesa:
- 📏 Opis: Ramiona kąta przecinamy dwiema prostymi. Stosunki odcinków utworzonych na obu ramieniach kąta są równe:
- 🦋 Trójkąty podobne: Zwróć uwagę, że w takiej konfiguracji formują się dwa (nachodzące częściowo na siebie) trójkąty podobne, więc możesz zapisywać też inne proporcje wynikające z podobieństwa trójkątów.
* Wskazówka: Zawsze dokładnie czytaj w poleceniu, które trójkąty podobne.
3. Wytłumaczyć? Obejrzyj filmik
4. Sprawdź się na pewniakach!
Na płaszczyźnie dane są cztery proste: $k, l, m$ oraz $n$. Proste $k$ oraz $l$ są równoległe. Prosta $m$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $A$ oraz $C$. Prosta $n$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $D$ oraz $B$. Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Ponadto $|OA| = 12$, $|OB| = 6$ oraz $|OC| = 8$ (zobacz rysunek).
Odcinek $OD$ ma długość
A. $4$ B. $9$ C. $10$ D. $16$
Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie $A$ przecięto dwiema prostymi równoległymi $k$ oraz $l$.
Prosta $k$ przecina ramiona tego kąta w punktach $B$ oraz $C$.
Prosta $l$ przecina ramiona tego kąta w punktach $D$ oraz $E$.
Punkty $B$ oraz $D$ leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty $C$ oraz $E$ leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto $|AB| = 6$, $|BC| = 4$ oraz $|BD| = 2$ (zobacz rysunek).
Odcinek $DE$ ma długość
A. $\displaystyle \frac{8}{3}$ B. $\displaystyle \frac{16}{3}$ C. $6$ D. $8$
Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ takich, że $|AB| = 2 \cdot |CD|$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$ (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
| Pola trójkątów $BCE$ oraz $AED$ są równe. | P | F |
| Pole trójkąta $ABE$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $CDE$. | P | F |
W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są: $|AC| = |BC| = 4$ i $|AB| = 3$. Na boku $BC$, między punktami $B$ i $C$, wybrano taki punkt $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odcinek $BD$ ma długość:
A. $2$ B. $2{,}25$ C. $2{,}5$ D. $3$
Kwadrat $\mathcal{K}_2$ jest podobny do kwadratu $\mathcal{K}_1$ w skali $5$ (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa $78$.
Długość boku kwadratu $\mathcal{K}_1$ jest równa:
A. $\sqrt{3}$ B. $3$ C. $\sqrt{13}$ D. $13$