Schemat 1B: Pierwiastki - upraszczanie

Pierwiastek to odwrotność potęgowania np.
$\sqrt{64}=8 \text{ bo } 8^2=64 $
$\sqrt[\textcolor{blue}3]{64}=4 \text{ bo } 4^{\textcolor{blue}3}=64 $

Mnożąc i dzieląc pierwiastki tego samego stopnia, możesz je włożyć pod 1 znak, a następnie poskracać np.

\( \frac{\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{32}}{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[3]{\frac{2\cdot \cancel{32}^{\textcolor{red}8}}{\cancel4^{\textcolor{red}1}}} = \sqrt[3]{8}=2\)

Możesz wyłączyć czynnik przed pierwiastek, rozkładając liczbę pod pierwiastkiem na odpowiednią potęgę (np. kwadrat, sześcian) razy resztę:

\( \sqrt{18}=\sqrt{\textcolor{red}9\cdot 2} = \textcolor{red}3 \sqrt{2} \)
\( \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{\textcolor{red}{27}\cdot 2} = \textcolor{red}3 \sqrt{2} \)

Najważniejsze wzory CKE

• ✖️ Mnożenie pierwiastków: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \)
• ➗ Dzielenie pierwiastków: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \)
• 🧩 Wyłączanie czynnika: \( \sqrt[n]{a^n \cdot b} = a\sqrt[n]{b} \)
• 🌱 Zamiana pierwiastka na potęgę: \( \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \)

* Założenia: \( a, b \ge 0 \) (dla pierwiastków stopnia parzystego), \( b \neq 0 \) (przy dzieleniu), \( n \in \mathbb{N}, n \ge 2 \). Dla pierwiastków stopnia nieparzystego (\( n = 3 \)) liczby podpierwiastkowe mogą być ujemne.