MatmaKlikalna.pl
Zaloguj się
✨ Podstawowe Karty Wzorów - wynik do 80%-90%
Cześć! 👋
Dodatek do klikania
Przygotowałam dla Was karty maturalne do matury podstawowej. Poniżej przepisałam z właściwych kart wzory,
na które warto, abyście zwrócili uwagę przygotowując się do matury podstawowej. Do każdego wzoru dodałam
proste przykłady. Pominęłam wzory, które pojawiają
się naprawdę rzadko. Z mojego doświadczenia dobre kojarzenie poniższych wzorów powinno być wystarczające
dla osób, które nie celują w ścisłe 100%.
Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej \(x\) definiujemy wzorem:
$$ |x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \ge 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases} $$\( |5| = 5 \)
Dla liczby ujemnej (zmieniamy znak na przeciwny):
\( |-3| = -(-3) = 3 \)
Liczba \(|x|\) jest to odległość na osi liczbowej punktu o współrzędnej \(x\) od punktu o współrzędnej \(0\).
Ta odległość wynosi dokładnie \(4\) jednostki. Odległość nigdy nie jest ujemna!
Dla dowolnej liczby \(x\) mamy:
$$ |x| \ge 0$$ $$|x| = 0 \iff x = 0$$ $$|-x| = |x| $$Minus wewnątrz wartości bezwzględnej po prostu znika: \(|-8| = |8| = 8\)
Ponadto, jeśli \(y \neq 0\), to:
$$ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} $$\( \left| \frac{-8}{2} \right| = |-4| = 4 \)
To to samo co: \( \frac{|-8|}{|2|} = \frac{8}{2} = 4 \)
Niech \(n\) będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\) definiujemy jej \(n\)-tą potęgę:
$$ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ razy}} $$\( 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \)
Pierwiastkiem arytmetycznym \(\sqrt[n]{a}\) stopnia \(n\) z liczby \(a \ge 0\) nazywamy liczbę \(b \ge 0\) taką, że:
$$ b^n = a $$\( \sqrt[3]{8} = 2 \), bo \( 2^3 = 8 \)
W szczególności, dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) prawdziwa jest równość:
$$ \sqrt{a^2} = |a| $$\( \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 \)
Jeżeli \(a < 0\) oraz liczba \(n\) jest nieparzysta, to \(\sqrt[n]{a}\) oznacza liczbę \(b < 0\) taką, że \(b^n = a\).
W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.
\( \sqrt[3]{-27} = -3 \), bo \( (-3)^3 = -27 \)
Dla parzystego: \( \sqrt{-4} \) - sprzeczność (brak rozwiązania).
Niech \(m, n\) będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:
$$ a^0 = 1 \quad \text{dla } a \neq 0 $$ $$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{dla } a \neq 0 $$\( 5^0 = 1 \)
Ujemny wykładnik odwraca liczbę do mianownika:
\( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)
Potęga o wykładniku ułamkowym (dla \(a \ge 0\)):
$$ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} $$Oraz (dla \(a > 0\)):
$$ a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} $$\( 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 \)
Minus dodatkowo odwraca liczbę:
\( 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{4^1}} = \frac{1}{2} \)
Działania na potęgach (dla \(a, b > 0\) oraz \(r, s \in \mathbb{R}\)):
$$ a^r \cdot a^s = a^{r+s} $$ $$ \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} $$\( 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \)
Przy dzieleniu odejmujemy wykładniki:
\( \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 \)
Działania na potęgach - c.d. (dla \(a, b > 0\) oraz \(r, s \in \mathbb{R}\)):
$$ (a^r)^s = a^{r \cdot s} $$ $$ (a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r \quad \text{oraz} \quad \left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r} $$\( (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 \)
Potęgujemy każdy składnik osobno:
\( (2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3 \)