MatmaKlikalna.pl
Zaloguj się
4 kroki: Piosenki, video, notatki i zadania
1. Wysłuchaj piosenkę
2. Szybka teoria
Najważniejsza zasada: Równanie okręgu o środku w punkcie $S=(a,b)$ i promieniu $r$ to:
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$$
Uważaj na dwie najczęstsze pułapki maturalne: we wzorze zmieniamy znaki współrzędnych środka na przeciwne, a po prawej stronie znaku równości znajduje się kwadrat promienia (a nie sam promień!).
Kluczowe typy zadań:
- 📍 Punkt na okręgu: Aby sprawdzić, czy punkt leży na okręgu, wstaw jego współrzędne w miejsce $x$ i $y$. Jeśli po podniesieniu nawiasów do kwadratu wyjdzie Ci to samo, co po prawej stronie równania, punkt należy do okręgu.
- 📏 Okrąg oparty na średnicy: Jeśli masz podane dwa skrajne końce średnicy, najpierw policz jej środek ze wzoru na środek odcinka – to automatycznie środek Twojego okręgu. Promień wyliczysz mierząc długość odcinka między środkiem a jednym z końców.
- ✂️ Punkty wspólne z osiami: Najszybciej ustalisz to rysunkiem. Zaznacz środek układu i zobacz, jak daleko jest do osi.
Przykład: Środek $S=(3, 5)$ leży w odległości $3$ od osi pionowej (OY) oraz $5$ od osi poziomej (OX). Jeśli promień to np. $r=4$, okrąg przetnie oś OY (bo $4 > 3$), ale "nie dosięgnie" osi OX (bo $4 < 5$).
* Wskazówka: Jeśli wolisz czyste obliczenia, punkty przecięcia z osią OX znajdziesz podstawiając zawsze $y=0$. Z kolei przecięcia z osią OY znajdziesz wstawiając $x=0$.
3. Wytłumaczyć? Obejrzyj filmik
4. Sprawdź się na pewniakach!
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S = (1, -3)$ i promieniu $5$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
| Punkt $A = (4, -7)$ leży na okręgu $\mathcal{O}$. | P | F |
| Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5$. | P | F |
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ odcinek o końcach $A = (1, 1)$ oraz $B = (3, -1)$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$.
Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem
A. $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 8$
B. $x^2 + (y - 2)^2 = 2$
C. $(x - 2)^2 + y^2 = 2$
D. $(x - 2)^2 + y^2 = 8$
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o równaniu $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
| Okrąg $\mathcal{O}$ nie ma punktów wspólnych z osią $Ox$ układu współrzędnych. | P | F |
| Okrąg $\mathcal{O}$ ma z osią $Oy$ układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne. | P | F |
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $P = (0, 0)$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S = (2, 4)$.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem:
A. $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 2\sqrt{5}$
B. $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 20$
C. $(x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 2\sqrt{5}$
D. $(x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 20$
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są cztery okręgi: $o_1, o_2, o_3, o_4$, o równaniach: $$o_1: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1$$ $$o_2: (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$$ $$o_3: (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 4$$ $$o_4: (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$$
Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych $(x, y)$, jest
A. $o_1$ B. $o_2$ C. $o_3$ D. $o_4$